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○数字の錯覚


 ちょっと考えればわかることでも、勘違いをすることがあります。

問(1) 厚さ1ミリメートルのボール紙を64回折りたたんだら、どのくらいの厚さになるでしょうか。実際には、よほど力のある人でなければ、そんなことはできないでしょう。そこで、折らなくてもカッターで切って重ねて貼っていけばいいのです。
 もしも、高くなって崩れてしまうことが心配な人は、一枚ずつ糊で貼ればいいでしょう。

(付) 大きな数の読み方について

問(2) 地球の赤道に沿ってロープを巻いたとします。むろん、そんなことは海があるのでできません。しかし、理論的にはおよそ4万キロメートルになるでしょう。
 次に、そのロープを1メートル長くします。すると、前よりも緩(ゆる)くなって、一律の持ち上げたとしたら、どのくらい地球との幅が開くのでしょうか?

(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

答(1) よくある問題で、このホームページでは「知的空間」の(その奥義)にある「ハノイの塔」や豊臣秀吉の例えなどで用いました。そこで、話だけではなく実際にやってみましょう。しかし、ここで実際にするというのは「実際にする」のではなく、「計算を実際に行(おこな)ってにる」ということですから、ご了承ください。
 なぜならば、太陽の表面に触れると危険だからです。(^_^;)

 なお、後で他にも違った回数の問題があるときのことを考えて、64回までのすべての数をテーブルで示しておきましょう。
 ただし、単位は39回目までは[mm]、40回目から59回目までは[km]、そして60回目から64回目までは[百万km]です。本当のことを言うと、私の電卓の表示桁数の都合。

  最初……1[mm]
  1回目の長さ……2[mm]
  2回目の長さ……4[mm]
  3回目の長さ……8[mm]
  4回目の長さ……16[mm]
  5回目の長さ……32[mm]
  6回目の長さ……64[mm]
  7回目の長さ……128[mm]
  8回目の長さ……256[mm]
  9回目の長さ……512[mm]

  10回目の長さ……1,024[mm]
  11回目の長さ……2,048[mm]
  12回目の長さ……4,096[mm]
  13回目の長さ……8,192[mm]
  14回目の長さ……16,384[mm]
  15回目の長さ……32,768[mm]
  16回目の長さ……65,536[mm]
  17回目の長さ……131,072[mm]
  18回目の長さ……262,144[mm]
  19回目の長さ……524,288[mm]

  20回目の長さ……1,048,576[mm]
  21回目の長さ……2,097,152[mm]
  22回目の長さ……4,194,304[mm]
  23回目の長さ……8,388,608[mm]
  24回目の長さ……16,777,216[mm]
  25回目の長さ……33,554,432[mm]
  26回目の長さ……67,108,864[mm]
  27回目の長さ……134,217,728[mm]
  28回目の長さ……268,435,456[mm]
  29回目の長さ……536,890,912[mm]

  30回目の長さ……1,073,741,824[mm]
  31回目の長さ……2,147,483,648[mm]
  32回目の長さ……4,294,967,296[mm]
  33回目の長さ……8,589,934,592[mm]
  34回目の長さ……17,179,869,184[mm]
  35回目の長さ……34,359,738,368[mm]
  36回目の長さ……68,719,476,736[mm]
  37回目の長さ……137,438,953,472[mm]
  38回目の長さ……274,877,906,944[mm]
  39回目の長さ……549,755,813,388[mm]

  40回目の長さ……1,099,150[km]
  41回目の長さ……2,199,020[km]
  42回目の長さ……4,398,040[km]
  43回目の長さ……8,796,080[km]
  44回目の長さ……17,592,160[km]
  45回目の長さ……35,184,320[km]
  46回目の長さ……70,368,640[km]
  47回目の長さ……140,737,280[km]
  48回目の長さ……281,474,560[km]
  49回目の長さ……562,949,120[km]

  50回目の長さ……1,125,898,240[km]
  51回目の長さ……2,251,796,480[km]
  52回目の長さ……4,503,592,960[km]
  53回目の長さ……9,007,185,920[km]
  54回目の長さ……18,014,371,840[km]
  55回目の長さ……36,028,743,680[km]
  56回目の長さ……72,057,487,360[km]
  57回目の長さ……144,114,974,720[km]
  58回目の長さ……288,229,949,440[km]
  59回目の長さ……576,459,898,880[km]

  60回目の長さ……1,152,918[百万km]
  61回目の長さ……2,305,836[百万km]
  62回目の長さ……4,611,672[百万km]
  63回目の長さ……9,223,344[百万km]
  64回目の長さ……18,446,688[百万km]

と、まぁ上のようになりました。
 大丈夫だと思いますが、計算違いがあるかもしれません。月に届かせるときには、安全確認のためにご自分でも計算をしてみてください。もしも実際にしたら、39回目で月に届き、48回目では太陽に達するはずです。

 しかし、「実際にしたら」と言っても、計算の場合でです。
 なお、私の理科年表(昭和62年版)によりますと

  地球と月の平均距離  384,400キロメートル
  地球と太陽の距離  149,598,000キロメートル

とありました。

(注) 大きな数の読み方について

 さて、上の大きな数の読み方です。

 64回目の長さ……18,446,688,000,000,000,000

は、いったいどう読めばよいのでしょうか。
 MKS単位系では、10のべき状について

  10の3乗  キロ[k]
  10の6乗  メガ[M]
  10の12乗  テラ[T]
  10の15乗  ペタ[P]
  10の18乗  エクサ[E]

などと定めています。
 しかし、これでは不便なので慣習的に用いられてきた実際の単位で読みましょう。

  10の4乗  万
  10の8乗  億
  10の12乗  兆
  10の16乗  京(けい)
  10の20乗  垓(がい)

となっていますから、先ほどの数字は

  一千八百四十四京 六千六百八十八兆 ……

と読むのでしょう。ちょっと自信がないなぁ(^_^;)
 もしも、「ハノイの塔」のような上の数が[秒]単位ですと、[年]に変換するには、60[秒]で1[分]、60[分]で1[時間]、24[時間]で1[日]、365[日]で1[年]ですから、31,536,000で割ればよいことになります。
 すると、(その奥義) の最後にあるように五千億年以上の数になって、人生よりもはるかに長く、もはや「永劫」の長さになってしまうようです。
 したがって、64枚の「ハノイの塔」は1回の移動を1秒で行うと、一生かかってもできません。
 いずれにしても、あまり日常では用いない篦棒(べらぼう)にでっかい数字ですね。

答(2) 

(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)


Kuroda Kouta (2007.02.14/2007.06.20)